y. is a user on mathtod.online. You can follow them or interact with them if you have an account anywhere in the fediverse. If you don't, you can sign up here.

y. @waidotto@mathtod.online

mathtod.online/@ZassyA_math/52
この命題はPartition Principle (PP)と呼ばれるもので,ZFから証明できるかどうかは未解決です.
alg-d.com/math/ac/partition_pr

離散Heisenberg群
\[H=\left\{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}a,b,c\in\mathbb{Z}\right\}\]
の有限部分集合$F$の生成する乗法半群$\langle F\rangle$が単位行列$I$を含む必要十分条件を求めようとしたが,$\lvert F\rvert=2$のときでも結構大変だった.$\lvert F\rvert\geq 3$のときはdecidableかどうか見当も付かない.

$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$だと$1\otimes 4+2\otimes 3=1\otimes 4+1\otimes 6=1\otimes(4+6)=0$となってしまうので駄目なような.
(というか$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ですよね)

例えば$\phi\colon\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \to \mathbb{Q}(\sqrt{2})$を考えてみると$0\neq(2(1\otimes 1) - \sqrt{2}\otimes\sqrt{2}) \in \operatorname{Ker}\phi$じゃないでしょうか.

mathtod.online/@chacopen_55/47

どの頂点の次数も$k$以下であるようなグラフ$G$が与えられたとき,以下のようにマッチングを貪欲に作るアルゴリズムを容易に作ることができる:

1. $G$の辺$e$をランダムに選び,マッチングに追加する.$e$の両端の頂点を$v,w$とする.
2. $v,w$に接続する辺はマッチングに使えないので,それらを全て$G$から削除する.
3. $G$の辺がなくなるまで1,2を繰り返す.

このアルゴリズムのステップ2において一度に削除される辺の本数は,$G$の条件から$e$を含めて高々$2k-1$本である.
したがって,$G$が$k(2k-1)$本以上の辺を持てば(上のアルゴリズムでどのような辺の選び方をしても)サイズが$k$のマッチングを必ず作ることができる.

Proof of the Riemann hypothesis
arxiv.org/abs/1708.01209
Riemann予想が(また?)証明されたようです.

mathtod.online/@sr_ambivalence
Wikipediaのアインシュタインの縮約記法のページにdummy indexというのが書いてあるので,それと似たようなものなのかもしれません.
数理論理学徒に対しては「束縛変数」が一番通じると思います.(よそでは通じないと思いますが)

$M$が$A/I$加群でもあるということは,$a\in A$倍の作用は剰余類$a+I$にしか依存しない.
したがって任意の$x_1,\dotsc,x_n\in M,a_1,\dotsc,a_n\in A$に対して
\[a_1x_1+\dotsb+a_nx_n=(a_1+I)x_1+\dotsb+(a_n+I)x_n.\]

diagram chaseを日本語で書き下すと,大したことじゃない割にはけっこう長くなってめんどくさい.
mathtod.online/media/TLsjajH39


現在の自分のTeX文書作成環境は以下のような感じ.もしかしなくても少数派かも.
キーボード: HHKB(US配列)
OS(ディストリビューション): Arch LInux
デスクトップ環境: KDE + xmonad
日本語入力: fcitx + SKK
エディタ: Vim
補間: neosnippet
コンパイル: quickrun + latexmk
pdfビューワ: evince
バージョン管理: git (+ bitbucket)

昔の本だと別行立ての数式では
\[\overset{b}{\underset{a}{\int}} f(x) \, dx\]
のように$\sum$と同じような添字の付け方をしているけど,なんで最近はこうしなくなったんだろう.
インテグラルは$\sum, \prod$などと違って細すぎて見栄えがよくないのかな.

$F \dashv G, G \vdash F.$

言い忘れてましたが,SFMTはMersenne Twisterの後継のようです.

dSFMT,どうやら浮動小数点演算によって乱数を生成しているのではなく,ビット演算(SIMD命令なのである程度並列に計算される)のみによって浮動小数を表す2進列を直接生成しているらしい.そりゃ速いわけだ.

@genkuroki @iwaokimura モンテカルロ法がCよりJuliaの方が高速な件ですが,JuliaはdSFMTというSSE2命令を利用した高速な疑似乱数生成器を使っているようです.(ネイティブコードをcode_native(findpi, (Int,))で見てみるとdsfmt_fill_array_close1_open2なる文字列が見えます.)
手許の環境でCでもdSFMTを使用して(さらに最適化をかけて)みたところ,かなり高速になったことをお伝えしておきます.
mathtod.online/media/DRNhnlfnT

Gödelの不完全性定理の説明で一番好きなのはE. Postの以下のものです:
"The conclusion is unescapable [sic] that even for such a fixed, well defined body of mathematical propositions, mathematical thinking is, and must remain, essentially creative."
(Gödelの定理の結論は,たとえこのように数学的命題の厳密に定義された本体[形式体系のこと]を固定したとしても,数学的思考は本質的に創造的であり続けることから逃れられない,ということである)

以下の論文の295頁にあります:
Emil L. Post, "Recursively enumerable sets of positive integers and their decision problems", Bull. Am. Math. Soc., vol. 50 (1944), pp. 284--316.

テキストを和訳して行間を埋めたノートを作って公開しようかと思ったけど,著作権的にアレっぽいので自分なりにまとめ直した方がよさそう.

「叱られないと勉強しない」を杓子定規に対偶をとると「勉強すると叱られる(?)」ですが,この違和感は含意と時間の前後関係との関わりを無視しているために起こります.
小野寛晰『情報科学における論理』によれば,これは様相論理(時間論理)の中で形式化できるとのことです:
$A$を「叱られる」,$B$を「勉強する」とおきます.$\Box\varphi$で「今までずっと$\varphi$だった」を表すとすると,$\Diamond\varphi\equiv\lnot\Box\lnot\varphi$は「過去に$\varphi$だったことがある」となります.
このような設定のもとで,
$\Box\lnot A \to \lnot B$ (叱られたことがなければ勉強しない)
の対偶は
$B \to \Diamond A$ ((今)勉強しているならば(過去に)叱られたことがある)
となります.

$\forall x(P(x)\lor Q(x))\to\forall xP(x)\lor\forall xQ(x)$と$\exists xP(x)\land\exists xQ(x)\to \exists x(P(x)\land Q(x))$の反例はどちらも$x$の動く範囲を自然数,$P(x)$を「$x$は偶数」,$Q(x)$を「$x$は奇数」とするのがわかりやすいと思います.

これは自分にとってはちょっとした恐怖だった.
というのも,彼は数学でわからないことがあるとしょっちゅう私に助けを求めてくるので,彼の数学のレベルは大体わかっていたつもりだった.
彼は$\varepsilon$-$\delta$論法の基本的な命題を証明することができるし,各点収束と一様収束の定義を言うことができるし,一様収束するなら各点収束することを示すことができる(はず)であるし,各点収束するが一様収束しない関数の例を少なくとも3つ挙げることができる.
にも関わらず前述の問題が解けない(たんに時間がかかるというだけでなく,中には不正解のものもあった)というのは,彼はたとえば各点収束と一様収束の違いを本当には理解していなかったということだ.
本当に理解していたなら,前述の問題(論理の問題というより,ただの日本語の問題である)は初めて見たとしても10分もあれば全問正解できるはずである.
"表面的な理解"だけでここまで来れてしまうというのはある意味ではすごい能力だとは思うが,同時に彼の読解力と将来が心配になった.(終)