(N⊗M)+(M⊗N)→M⊗Mの像、みたいな

テンソルの核は具体的にわかろうとすると難しい(flatとかがあれば綺麗になる)からあまり考えないようにするのが普通かも

$M\otimes M\rightarrow M/N\otimes M/N$の核について真面目に議論してる論文はないだろうか

花粉症の薬を花粉が飛ぶ少し前くらいから飲み始めたら鼻の調子がわるくならなくてすごい

全部平面って思っているから平面と言ってしまったけど線型空間

楕円曲線のモジュライくらいならそういうのもありそうだと思うけど、アーベル多様体のモジュライなんてあんのかよw
って思ってたけど複素ならトーラスだから平面を格子で割ったものだし、そう思うと普通に手が届きそうだと思えてくる
複素じゃない場合は知らない...

交差コホモロジーとかを勉強すればもう少しランクの高い局所自由層をわかりたい気持ちになるのかな

線織曲面を理解するには曲線の上のランク2の局所自由層を調べたくなるけど、それもまあまあ難しいことは難しいし(たとえば適当に不変量を与えてそれに対応する局所自由層はあるか?とか)局所自由層について何か具体的なことをわかろうとしても難しいんじゃないかと思ってしまう。チャーン類くらいは上手にやれば計算できるかもしれないけど。

アーベル多様体でも何でも、代数幾何では直線束が本当に大事なんだけど、一方で高いランクの局所自由層が本質的に重要になる理由を知らない

複素の場合、アーベル多様体上の直線束は割とよくわかる:解析空間と思えば普遍被覆として原点での接空間が取れて、そこに引き戻せばすべて自明になるので、あとはC×C^Nを割った形であるという割る条件を求めれば良い、これは群コホモロジーを使って計算すればエルミート形式(チャーン類側)と何らか(Pic^0側)が対応して、Appel-Humbertの定理で1:1対応になっていることがわかる。

あんまり簡単じゃないと思ってたけどやってみると結構簡単だから、もう少しスキーム論的に良い書き方したい

smoothな射X→Sはetale localにA^n束だと思える:
Affine開集合Spec(A)⊂X,Spec(R)⊂Sを小さく取ってR→Aが
Ω_(A/R)≅⊕[i=1,n]Adf_i
と書けてR'=R[f_1,...,f_n]は(df_iらが一次独立だから)多項式環に同型で
Ω_(R'/R)=⊕[i=1,n]R'df_i
になる。
R→R'→AからくるΩの完全列
Ω_(R'/R)⊗A→Ω_(A/R)→Ω_(A/R')→0
の始めの部分がdf_i⊗a↦adf_iで与えられるから全射でΩ_(A/R')=0
これからA/R'は不分岐
これからもう少し縮めてflat locusを取ればR'→Aはetaleになる

数学って気を遣うこともないし体力が削れることもないのだから、1日8時間も働いている社会の方々と比較すると自分たちも1日14時間くらい数学してないと釣り合わないんじゃないかとか思ってきた

教育に興味があるというよりは今書かれている世間にあふれている本に不満があるという方が正しい

何書いてるんだってなるけどユーザー視点の圏論ってどう勉強すればいいのか自分はわからなかったからこういうのはだいじかもしれないと思ってる

3週間くらいセミナーがないから暇つぶしに「多様体を局所環付き空間として見直すことでスキーム論(的考え方)に自然な入門を与えるpdf」でも書こうと思ったのに、2日くらいぽちぽちしてて気がついたら圏論とテンソル積に関する準備だけで20ページくらいになってた

ちなみにこれでSpec(A)とかProj(S)とかの上に構造層とか加群の層を載せるのがすごく簡単になる:
Spec(A)やProj(S)は開基としてD(f)やD_+(f)の形のものを持っていて、これは交差で閉じる。
これらの上でM_fやM_(f)を載せれば開基の上では貼り合わせの条件を満たす(忠実平坦性の基本的な性質)ので、全体に延長して層が乗る。
この方法だと大域切断を調べるのに苦労しなくて良いという利点もある(全体への延長は右Kan拡張になっているから各点Kan拡張で元の開基の上でははじめに定義した加群が乗っていることがわかる。(Kan拡張という用語を出さなければならない理由はないので普通にlimitの言葉で書けば良いのだけど))

P(E)のときも十分小さいところでやれば良いけど、P(E)のような良いやつだと、もう少し雑に考えてもできる:

base schemeをSとして、Sym(E)はS上の次数付きO_S代数の層なのでS上で勝手に貼りあっていて、これからEが自由になるような開集合U⊂Sに対してP(E_U)の上に普通に射影空間として構造層を乗せれば、これはP(E)上で勝手に貼り合う、という感じ

層は交差で閉じるような開基の上でだけ層になっていれば自然な方法で任意の開集合上に拡張できる、という考え方は層を扱うのをとても楽にしてくれると思いますよ

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