あんまり簡単じゃないと思ってたけどやってみると結構簡単だから、もう少しスキーム論的に良い書き方したい

smoothな射X→Sはetale localにA^n束だと思える:
Affine開集合Spec(A)⊂X,Spec(R)⊂Sを小さく取ってR→Aが
Ω_(A/R)≅⊕[i=1,n]Adf_i
と書けてR'=R[f_1,...,f_n]は(df_iらが一次独立だから)多項式環に同型で
Ω_(R'/R)=⊕[i=1,n]R'df_i
になる。
R→R'→AからくるΩの完全列
Ω_(R'/R)⊗A→Ω_(A/R)→Ω_(A/R')→0
の始めの部分がdf_i⊗a↦adf_iで与えられるから全射でΩ_(A/R')=0
これからA/R'は不分岐
これからもう少し縮めてflat locusを取ればR'→Aはetaleになる

数学って気を遣うこともないし体力が削れることもないのだから、1日8時間も働いている社会の方々と比較すると自分たちも1日14時間くらい数学してないと釣り合わないんじゃないかとか思ってきた

教育に興味があるというよりは今書かれている世間にあふれている本に不満があるという方が正しい

何書いてるんだってなるけどユーザー視点の圏論ってどう勉強すればいいのか自分はわからなかったからこういうのはだいじかもしれないと思ってる

3週間くらいセミナーがないから暇つぶしに「多様体を局所環付き空間として見直すことでスキーム論(的考え方)に自然な入門を与えるpdf」でも書こうと思ったのに、2日くらいぽちぽちしてて気がついたら圏論とテンソル積に関する準備だけで20ページくらいになってた

ちなみにこれでSpec(A)とかProj(S)とかの上に構造層とか加群の層を載せるのがすごく簡単になる:
Spec(A)やProj(S)は開基としてD(f)やD_+(f)の形のものを持っていて、これは交差で閉じる。
これらの上でM_fやM_(f)を載せれば開基の上では貼り合わせの条件を満たす(忠実平坦性の基本的な性質)ので、全体に延長して層が乗る。
この方法だと大域切断を調べるのに苦労しなくて良いという利点もある(全体への延長は右Kan拡張になっているから各点Kan拡張で元の開基の上でははじめに定義した加群が乗っていることがわかる。(Kan拡張という用語を出さなければならない理由はないので普通にlimitの言葉で書けば良いのだけど))

P(E)のときも十分小さいところでやれば良いけど、P(E)のような良いやつだと、もう少し雑に考えてもできる:

base schemeをSとして、Sym(E)はS上の次数付きO_S代数の層なのでS上で勝手に貼りあっていて、これからEが自由になるような開集合U⊂Sに対してP(E_U)の上に普通に射影空間として構造層を乗せれば、これはP(E)上で勝手に貼り合う、という感じ

層は交差で閉じるような開基の上でだけ層になっていれば自然な方法で任意の開集合上に拡張できる、という考え方は層を扱うのをとても楽にしてくれると思いますよ

今さらだけどP(E)の構造層ってどうなるんだっけ…

Goodwillie calculusとかいうのがあるけど、ホモトピー論があんまりわからないから何をやりたいのかよくわからない

私は圏論完全分からん民だな。大学院の時の先生は圏論マスターみたいな人だったけど、やってることが難しすぎて分からなかった。関手の冪級数展開とかしてた。

私が圏論苦手なのは、圏論の人がこれは自然性から明らか、て言うところを1時間くらいダイアグラムチェイシングしないと分からない、て言うところにあると思う。

あ、これC=B-mod、D=A-modですね(じゃないとG:A-mod→B-modにならない)
逆です。

A→Bの環準同型と入射的A-加群Iに対してHom_A(B,I)が入射的B-加群か?というのは正しい。

一般に、
C,D:アーベル圏
F:C⇆D:G:(Ab-豊穣)関手
FはGの左随伴で、Fはさらに完全関手
としたら、GはDの入射的対象をCの入射的対象に写す。
∵)
IがDの入射的対象としたとき、
Hom_C(-,G(I)):C^op→Abが完全関手であれば良い。けどこれは(F,G)の随伴でHom_D(F(-),I)と自然‪同型で、これは二つの完全関手Hom_D(-,I):D^op→AbとF:C^op→D^opの合成なので完全関手。

ここでC=A-Mod,D=B-Mod,F=スカラーの制限、G=Hom_A(B,-)とすれば最初の問いの答えが得られる。

圏論的にはこれらの随伴はKan拡張。
環Aを一点の上のAb-豊穣圏Aと思えば、準同型A→Bは(一点圏と思って)Ab-豊穣な関手A→Bと対応する。
A-加群はアーベル群Mであって環準同型A→End(M)の付随したものだと思えば、Ab^(A^op)は(左?右?)A-加群の圏と圏同型。(Aが可換ならA^op=Aだからどちらでも良い)

環Aに対してAをA加群だと思う方法が、米田埋め込みA→Ab^(A^op)で、これによる一点の像はちょうどAになる。

環準同型A→BでB加群のスカラーを制限するというのは、A^op→B^opにより自然に出る関手Ab^(B^op)→Ab^(A^op)のこと。

A加群MをBに係数拡大するというのは、A^op→B^opに沿ったM:A^op→Abの左Kan拡張を取るということ。

テンソルといえばHomの左随伴という意識が強いかもしれないけど、係数拡大という意味での加群と代数のテンソルはHomに随伴するのではなくてスカラーの制限に随伴します。
Homの左側に代数を入れた関手はテンソルに随伴するのではなくてこっちもスカラーに随伴します。

$\mathrm{Hom}(F, \mathrm{Hom}(R, M))\cong\mathrm{Hom}(F\otimes R, M)$とテンソル積の右完全性でいける?

$R$を単位的環,$R'$を$R$の部分環とする.
$M$が入射左$R'$-加群ならば,左$R$-加群 Hom$_{R'}(R, M)$も入射的である.

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この命題は成り立つのでしょうか?最近気になっています.
もし何か知っている方,情報頂ければ嬉しいです.

だいたいレシピ通りに作ったけどなんかパッとしない味だなって思ったら大抵の場合塩を入れればgoodになると思った

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