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A→Bの環準同型と入射的A-加群Iに対してHom_A(B,I)が入射的B-加群か?というのは正しい。

一般に、
C,D:アーベル圏
F:C⇆D:G:(Ab-豊穣)関手
FはGの左随伴で、Fはさらに完全関手
としたら、GはDの入射的対象をCの入射的対象に写す。
∵)
IがDの入射的対象としたとき、
Hom_C(-,G(I)):C^op→Abが完全関手であれば良い。けどこれは(F,G)の随伴でHom_D(F(-),I)と自然‪同型で、これは二つの完全関手Hom_D(-,I):D^op→AbとF:C^op→D^opの合成なので完全関手。

ここでC=A-Mod,D=B-Mod,F=スカラーの制限、G=Hom_A(B,-)とすれば最初の問いの答えが得られる。

あ、これC=B-mod、D=A-modですね(じゃないとG:A-mod→B-modにならない)
逆です。

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