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超関数を一貫性をもって数学的に扱うのは簡単ではありません。膨大な理論が存在します。

よく使われるSchwarzの超関数や佐藤超函数は良い性質を持った積が定義できません。例えば
$\delta(x)^2$もうまく定義できないので存在しません。

ja.wikipedia.org/wiki/シュワルツ超函数

乗法の問題を解決した理論としてColombeau代数があります。en.wikipedia.org/wiki/Colombea

Colombeau代数の問題点として、一般の連続関数を連続関数として演算してから汎関数としてみたものと、汎関数と思って演算したものとでは、演算結果が一致しないということがあります。

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