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yoriyuki @yoriyuki

まずそもそも$\delta$関数は超関数であって普通の意味での関数ではないし、
\[ f(x') = \int \delta(x - x') f(x) dx \]
は$\delta$関数の定義だと思うのだが...

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すいません、投稿を誤読していました。\[ f(x') = \int \delta(x - x') f(x) dx \]は当然前提にされているのですね。