【クラメールの公式(2×2)】
\begin{equation}
A\left(
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{cc}
a_{1} & b_{1}\\
a_{2} & b_{2}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{c}
c_{1}\\
c_{2}
\end{array}
\right)
\end{equation}
\begin{equation}
x=\frac{1}{|A|}\left|
\begin{array}{cc}
c_{1} & b_{1}\\
c_{2} & b_{2}
\end{array}
\right|,~y=\frac{1}{|A|}
\left|
\begin{array}{c}
a_{1} & c_{1}\\
a_{2} & c_{2}
\end{array}
\right|
\end{equation}

【ロンスキー行列式(ロンスキアン)】
$n$個の関数が
\begin{equation}
c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)+\cdots c_{n}f_{n}(x)=0
\end{equation}
上式において一次独立($c_{1}=c_{2}=\cdots c_{n}=0$でしか上式が成り立たない)であるための必要十分条件は以下である。
\begin{equation}
\mathrm{det}\left( \frac{d^{j-1}f_{j}(x)}{dx^{j-1}} \right)=\left|
\begin{array}{cccc}
f_{1} & f_{2} & \cdots & f_{n}\\
f^{\prime}_{1} & f^{\prime}_{2} & \cdots & f^{\prime}_{n}\\
&& \ddots & \\
f^{(n-1)}_{1} & f^{(n-1)}_{2} & \cdots & f^{(n-1)}_{n}
\end{array}
\right|\neq0
\end{equation}

【核物質中の1核子の有効質量】
ポテンシャルを$k/k_{F}\ll 1$の条件の下で
\begin{equation}
U(k)\simeq U_{0}+U_{2}\left(\frac{k}{k_{F}}\right)^2
\end{equation}
と近似すると、1核子のエネルギー$\epsilon_{k}$を
\begin{equation}
\epsilon_{k}=\frac{\hbar^2}{2m}k^2+U\left( k \right)\simeq \frac{\hbar^2}{2}\left( \frac{1}{m}+\frac{2}{\hbar^2}\frac{U_2}{k^{2}_{F}}
\right)k^2+U_{0}
\end{equation}
と書くことができる。ここで、有効質量$m^\ast$を以下のように定義する。
\begin{equation}
\frac{1}{m^\ast}=\frac{1}{m}+\frac{2}{\hbar^2}\frac{U_2}{k^{2}_{F}}
\end{equation}

【核子の平均自乗半径】
\begin{equation}
\langle r^2\rangle=\int r^2\rho(r)dr^3\left/\int\rho(r)dr^3\right.
\end{equation}
原子核の密度分布が$[0, R]$で一定とすると
\begin{equation}
\langle r^2\rangle=\rho_{0}\int^{R} _{0}r^4dr\int d\Omega\left/\rho_{0}\int^{R}_{0} r^2dr\int d\Omega\right.=\frac{3}{5}R^2
\end{equation}
となる。ここで、$R=r_{0}A^{1/3}$を用いると、以下のように表すことができる。
\begin{equation}
\langle r^2\rangle=\frac{3}{5}R^2=\frac{3}{5}r^{2}_{0}A^{2/3}
\end{equation}

【スピン軌道相互作用による1粒子軌道の分離2/2】
ここで、
\begin{equation}
\epsilon_{\mathrm{SO}}=2\langle\vec{l}\cdot\vec{s}\rangle=j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}
\end{equation}
を考えると、
\begin{equation}
\begin{array}{cc}
j=l+\frac{1}{2}\quad\to & \epsilon_{\mathrm{SO}}=l\\
j=l-\frac{1}{2}\quad\to & \epsilon_{\mathrm{SO}}=-l-1
\end{array}
\end{equation}
を得る。したがって、
\begin{equation}
\Delta\epsilon_{\mathrm{SO}}=2l+1
\end{equation}
と書け、軌道角運動量が大きいほど、$\Delta\epsilon_{\mathrm{SO}}$も大きくなることが分かる。これがパリティの異なる殻に大きな軌道角運動量を持つ軌道が侵入する現象を生む。

【スピン軌道相互作用による1粒子軌道の分離1/2】
$\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}$を用いると、スピン軌道相互作用の演算子は
\begin{equation}
\vec{j}^{2}=(\vec{l}+\vec{s})^2=\vec{l}^{2}+\vec{s}^{2}+2\vec{l}\cdot\vec{s}\quad\leftrightarrow\quad \vec{l}\cdot\vec{s}=\frac{1}{2}\left( \vec{j}^2-\vec{l}^2-\vec{s}^2 \right)
\end{equation}
と計算できる。これを固有状態$|l,1/2,j,m\rangle$に作用させると
\begin{equation}
\vec{l}\cdot\vec{s}|l,1/2,j,m\rangle=\frac{1}{2}\left\{ j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4} \right\}|l,1/2,j,m\rangle
\end{equation}
となる。

【調和振動子と不確定性関係2/2】
位置と運動量の量子的なゆらぎは
\begin{equation}
\Delta\hat{x}=\sqrt{\langle\hat{x}^2\rangle-\langle\hat{x}\rangle^2},~\Delta\hat{x}=\sqrt{\langle\hat{p}^2\rangle-\langle\hat{p}\rangle^2}
\end{equation}
と書ける。$\langle n|\hat{x}|n\rangle=\langle n|\hat{p}|n\rangle=0$より
\begin{equation}
\left( \Delta x_{n} \right)^2\left( \Delta p_{n} \right)^2=\frac{\hbar^2}{4}(2n+1)
\end{equation}
となり、$n=0$のときに$\Delta x\Delta p$は$\hbar/2$のゆらぎを持つことが見積もれる。これは不確定性関係に対応する。

【調和振動子と不確定性関係1/2】
固有状態($n$番目の励起状態$|n\rangle$)とその固有値($E_{n}$)は
\begin{equation}
|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n}!}\left( \hat{a}^{\dagger} \right)^n |0\rangle,~E_{n}=\left( n+\frac{1}{2} \right)\hbar\omega
\end{equation}
と書ける。$n=0$のときは基底状態であり、その固有値$E_{0}=\hbar\omega/2$は零点振動を表す。
調和振動子の位置と運動量の演算子は
\begin{equation}
\hat{x}=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left( \hat{a}^{\dagger}+\hat{a} \right),~i\frac{\hbar m\omega}{2}\left( \hat{a}^{\dagger}-\hat{a} \right)
\end{equation}
と表される。

2次元での回転
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{array}
\right)
\end{equation}
この回転行列は直交行列(${}^{t}P=P^{-1}\leftrightarrow{}^{t}PP=1$)であり、かつ行列式が1である2次元特殊直交群:SO(2)に分類される。

【ラプラシアン$\triangle$の球座標表示】
\begin{equation}
\triangle=\vec{\nabla}^{2} =\frac{\partial ^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}-\frac{\vec{L}^{2}}{\hbar^{2}r^{2}}
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{L}^{2}=-\hbar^{2}\left[ \frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)+\frac{1}{\sin ^{2}\theta}\frac{\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}} \right]
\end{equation}

【ナブラ$\vec{\nabla}$の球座標表示】
\begin{equation}
\psi(r,\theta ,\varphi)=R_{l}(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{\nabla}=\vec{e}_{r}\frac{\partial}{\partial r}+\vec{e}_{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+\vec{e}_{\phi}\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi}
\end{equation}

【Crebsh-Gordan係数と$3j$記号】
\begin{equation}
\langle j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}|jm\rangle=(-1)^{-j_{1}+j_{2}-m}\sqrt{2j+1}
\left(
\begin{array}{ccc}
j_{1} & j_{2} & j\\
m_{1} & m_{2} & -m_{3}
\end{array}
\right)
\end{equation}

\begin{equation}
j_{1}\otimes j_{2}=(j_{1}+j_{2})\oplus(j_{1}+j_{2}-1)\oplus\cdots\oplus|j_{1}-j_{2}|
\end{equation}
Ex1)「2$\times$2=4」状態が「1+3=4」状態に分類された
\begin{equation}
\frac{1}{2}\otimes\frac{1}{2}=0\oplus1
\end{equation}
Ex2)「3$\times$2=6」状態が「4+2=6」状態に分類された
\begin{equation}
1\otimes\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\oplus\frac{1}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
|j_{1}j_{2}jm\rangle=|j_{1}m_{1}\rangle|j_{2}m_{2}\rangle=\sum_{m_{1},m_{2}}|j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\rangle\underbrace{\langle j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}|j_{1}j_{2}jm\rangle}_{\mathrm{C-G係数}}
\end{equation}
$\langle j_{1}j_{2}j^{\prime}m^{\prime}|j_{1}j_{2}jm\rangle=\delta_{jj^{\prime}}\delta_{mm^{\prime}}$より
\begin{equation}
\sum_{m_{1},m_{2}}C^{\ast j_{1}~j_{2}~j^{\prime}}_{m_{1}m_{2}m^{\prime}}C^{~j_{1}~j_{2}~j}_{m_{1}m_{2}m}=\delta_{jj^{\prime}}\delta_{mm^{\prime}}
\end{equation}

【角運動量の合成Memo1】
\begin{equation}
\vec{j}=\vec{j}_{1}+\vec{j}_{2}=\vec{j}_{1}\otimes1+1\otimes\vec{j}_{2}
\end{equation}
\begin{equation}
\left[ j_{1\kappa},j_{2\lambda} \right]=0~,~\left[ j_{1\kappa},j_{1\lambda} \right]=i\epsilon_{\kappa\lambda\sigma}j_{1\sigma}
\end{equation}
\begin{equation}
j_{1z}|j_{1}m_{1}\rangle=m_{1}|j_{1}m_{1}\rangle~,~\vec{j}^{2}_{1}|j_{1}m_{1}\rangle=j_{1}(j_{1}+1)|j_{1}m_{1}\rangle
\end{equation}

一般の$m$の場合
\begin{eqnarray}
|l,\frac{1}{2},j=l+\frac{1}{2},m\rangle&=&\left(\frac{l+m+\frac{1}{2}}{2l+1}\right)^{\frac{1}{2}}Y_{l,m-\frac{1}{2}}\chi_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}+\left(\frac{l-m+\frac{1}{2}}{2l+1}\right)^{\frac{1}{2}}Y_{l,m+\frac{1}{2}}\chi_{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}\\
&=&\left(\frac{j+m}{2j}\right)^{\frac{1}{2}}Y_{l,m-\frac{1}{2}}\chi_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}+\left(\frac{j-m}{2j}\right)^{\frac{1}{2}}Y_{l,m+\frac{1}{2}}\chi_{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}
\end{eqnarray}

例えば、
\begin{equation}
|l,\frac{1}{2},j=l+\frac{1}{2},m=l+\frac{1}{2}\rangle=Y_{l,l}\chi_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}$の$\vec{j}^2
\end{equation}
の固有値は
\begin{equation}
\vec{j}^{2}Y_{l,l}\chi_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}=\left( l+\frac{1}{2} \right)\left( l+\frac{1}{2}+1 \right)Y_{l,l}\chi_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}=\left( l+\frac{1}{2} \right)\left( l+\frac{3}{2} \right)Y_{l,l}\chi_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}
\end{equation}

【Clebsh-Gordan係数Memo1】
\begin{equation}
|lsjm\rangle=\sum_{m_{l},m_{s}}C^{~l~s~j}_{m_{l}m_{s}m}|lm_{l}\rangle|sm_{s}\rangle
\end{equation}
$m=m_{l}+m_{s}$、$s=1/2$のとき
\begin{equation}
|lsjm\rangle=C^{~l~\frac{1}{2}~j}_{m-\frac{1}{2},\frac{1}{2},m}Y_{l,m-\frac{1}{2}}\chi_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}+C^{~l~\frac{1}{2}~j}_{m+\frac{1}{2},-\frac{1}{2},m}Y_{l,m+\frac{1}{2}}\chi_{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}
\end{equation}

【極性ベクトルと軸性ベクトル】
パリティ変換$P$
\begin{equation}
P|\vec{r}\rangle=|-\vec{r}\rangle,\quad P|\vec{p}\rangle=|-\vec{p}\rangle
\end{equation}
※位相を$e^{i\theta}=1$としている。
\begin{equation}
P^{2}=1
\end{equation}
極性ベクトル(polar vector)
\begin{equation}
P^{-1}\vec{r}P=-\vec{r},\quad P^{-1}\vec{p}P=-\vec{p}
\end{equation}
軸性ベクトル(axial vector)
\begin{equation}
P^{-1}\left( \vec{r}\times\vec{p} \right)P=P^{-1}\vec{L}P=\vec{L}
\end{equation}

【Lagrangeの未定乗数法とSchrodinger方程式】
\begin{equation}
E=\int dq\psi^{\ast}(q)H\psi(q)
\end{equation}
に条件
\begin{equation}
\int dq\psi^{\ast}(q)\psi(q)=1~\to~\int dq\psi^{\ast}(q)\psi(q)-1=0
\end{equation}
を課すと、未定乗数$\epsilon$と共に$E$を以下のように書き換えられる。
\begin{equation}
E^{\prime}=E-\epsilon\left(\int dq\psi^{\ast}(q)\psi(q)-1\right)
\end{equation}
これよりSchrodinger方程式が得られる。
\begin{equation}
(H-\epsilon)\psi(q)=0
\end{equation}

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