小林良彦 @yoshikoba113@mathtod.online

【Gamow状態】
有限の寿命$\tau=\hbar/\Gamma$で崩壊する状態を記述するために、G. Gamowは複素エネルギー$\mathcal{E}$を持った状態を導入した。
\begin{equation}
\mathcal{E}=E_{R}-(i/2)\Gamma
\end{equation}
ここでの$\Gamma$は崩壊する状態の共鳴幅。すると、その状態の時間発展は以下のように表すことができる。
\begin{equation}
\left|\Psi(t)\right|^{2}=\left|e^{-i\mathcal{E}t/\hbar}\right|^{2}=\left|e^{-iE_{R}t/\hbar}e^{-\Gamma t/2\hbar}\right|^{2}=e^{-\Gamma t/\hbar}
\end{equation}
上式より、共鳴幅$\Gamma$と共に、状態の存在確率が指数関数的に減衰（崩壊）していくことが分かる。#量子 #量子力学

【フェルミオンとボソン】
2粒子波動関数$\Phi(x_{1},x_{2})$での粒子の入れ替えを考える。
\begin{equation}
\Phi(x_{1},x_{2})=c\Phi(x_{2},x_{1})=c^{2}\Phi(x_{1},x_{2})
\end{equation}
2回の入れ替えで元に戻るので、係数$c$は以下の性質を持つ。
\begin{equation}
c^{2}=1~\to~c=\pm1
\end{equation}
粒子の入れ替えに対する対称性から、粒子を二つの種類に分類する。
\begin{equation}
c=\left\{
\begin{array}{ll}
+1：対称 & \to\mathrm{ボソン（ボース粒子）}\\
-1：反対称 & \to\mathrm{フェルミオン（フェルミ粒子）}
\end{array}
\right.
\end{equation}
ボソンの例：光子、中間子、偶数個のフェルミオンから成る粒子（${}^{4}$Heなど）。フェルミオンの例：電子、核子、奇数個のフェルミオンから成る粒子（${}^{3}$Heなど）。

【放射性元素の四つの崩壊系列】
トリウム系列（4n系列）：${}^{232}\mathrm{Th}\to{}^{208}\mathrm{Pb}$
アクチニウム系列（4n+3系列）：${}^{235}\mathrm{U}\to{}^{207}\mathrm{Pb}$
ウラン系列（4n+2系列）：${}^{238}\mathrm{U}\to{}^{206}\mathrm{Pb}$
ネプツニウム系列（4n+1系列）：${}^{237}\mathrm{Np}\to{}^{209}\mathrm{Bi}$
※それぞれの途中経過については省略してあることに注意。
#元素 #原子核 #放射能

【位置$x$の期待値（平均値）】
ある粒子を表す波動関数$\psi(x,t)$の確率密度を$P(x,t)=|\psi(x,t)|^{2}$とする。その粒子を位置$x$で見出す期待値は以下のよう書ける。
\begin{equation}
\langle x\rangle=\int xP(x,t)dx=\int x|\psi(x,t)|^{2}dx
\end{equation}
#物理 #量子 #量子力学

【ラグランジアン$L$とハミルトニアン$H$】
$q$と$p$をそれぞれ一般化座標と一般化運動量とする。ラグランジアン$L$とハミルトニアン$H$の関係性は以下のように表わされる。
\begin{equation}
H=p\dot{q}-L
\end{equation}
ハミルトニアン$H$の全微分は以下のように書ける。
\begin{equation}
dH=\dot{q}dp+pd\dot{q}-dL=\dot{q}dp+pd\dot{q}-\left( \dot{p}dq+pd\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}dt \right)=\dot{q}dp-\dot{p}dq-\frac{\partial L}{\partial t}dt
\end{equation}
以上より、正準方程式が得られる。
\begin{equation}
\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},~\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}
\end{equation}
#物理 #力学 #解析力学

【ラグランジュの運動方程式とラグランジアン$L(q,\dot{q},t)$の全微分】
$q$と$p$をそれぞれ一般化座標と一般化運動量とするとラグランジュの運動方程式は以下のように書ける。
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0
\end{equation}
一般化座標を$p=\partial L/\partial\dot{q}$とすると、ラグランジアン$L$の全微分は以下のように計算できる。
\begin{equation}
dL=\frac{\partial L}{\partial q}dq+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}dt=\dot{p}dq+pd\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}dt
\end{equation}
#物理 #力学 #解析力学

【時間反転演算子】
時間反転演算子$T$は反ユニタリー演算子
\begin{equation}
T^{-1}\vec{r}T=\vec{r}
\end{equation}
\begin{equation}
T^{-1}\vec{p}T=-\vec{p}
\end{equation}
\begin{equation}
T^{-1}\vec{L}T=-\vec{L}
\end{equation}

【反ユニタリー演算子】
\begin{equation}
\hat{U}\left( a|\phi\rangle+b|\psi\rangle \right)=a^{\ast}\hat{U}|\phi\rangle+b^{\ast}\hat{U}|\psi\rangle
\end{equation}
\begin{equation}
\langle\hat{U}\phi|\hat{U}\psi\rangle=\langle\psi|\phi\rangle=\langle\phi|\psi\rangle^{\ast}
\end{equation}
→$\hat{U}$は反ユニタリー演算子

【ユニタリー演算子】
\begin{equation}
|\psi\rangle\to|\psi^{\prime}\rangle=\hat{U}|\psi\rangle
\end{equation}
\begin{equation}
\hat{U}\left( a|\phi\rangle+b|\psi\rangle \right)=a\hat{U}|\phi\rangle+b\hat{U}|\psi\rangle
\end{equation}
\begin{equation}
\langle\hat{U}\phi|\hat{U}\psi\rangle=\langle\phi|\psi\rangle
\end{equation}
→$\hat{U}$はユニタリー演算子

【1次元シュレーディンガー方程式の束縛解の非縮退（つづき）】
したがって、ロンスキアンは定数であることが分かる。
\begin{equation}
W(x)=u_{1}(x)u^{\prime}_{2}(x)-u^{\prime}_{1}(x)u_{2}(x)=\mathrm{const.}
\end{equation}
ここで$u_{1}(x)$と$u_{2}(x)$が束縛状態だとすると、
\begin{equation}
u_{1}(\pm\infty)=u_{2}(\pm\infty)=0
\end{equation}
でなければならない。よって、$W(x)=0$となり、$u_{1}(x)$と$u_{2}(x)$は1次従属（$u_{1}(x)=Cu_{2}(x)$）であることが分かる。これは$u_{1}(x)$と$u_{2}(x)$が同じ束縛状態を表す関数であり、縮退しているわけではないことを示している。

【1次元シュレーディンガー方程式の束縛解の非縮退】
あるエネルギー固有値$E$に対して二つの固有関数（$u_{1}(x)$と$u_{2}(x)$）があると仮定する。
\begin{equation}
\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}+V(x)\right)u^{\prime\prime}_{1}(x)=Eu_{1}(x)
\end{equation}
\begin{equation}
\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}+V(x)\right)u^{\prime\prime}_{2}(x)=Eu_{2}(x)
\end{equation}
上の二式より、以下の関係式を得ることができる。
\begin{equation}
\left( u_{1}(x)u^{\prime}_{2}(x)-u^{\prime}_{1}(x)u_{2}(x) \right)^{\prime}=0
\end{equation}

【1次独立とロンスキー行列式（ロンスキアン）】
\begin{equation}
W(x)=\left|
\begin{array}{cc}
u_{1}(x) & u_{2}(x)\\
u^{\prime}_{1}(x) & u^{\prime}_{2}(x)
\end{array}
\right|=u_{1}(x)u^{\prime}_{2}(x)-u^{\prime}_{1}(x)u_{2}(x)
\end{equation}
上の行列式$W(x)$をロンスキー行列式またはロンスキアン（Wronskian）という。$W(x)\neq0$であれば、$u_{1}(x)$と$u_{2}(x)$は1次独立である。

【1次独立と1次従属】
関数$u_{1}(x)$と$u_{2}(x)$が比例関係にない（$u_{1}(x)\neq Cu_{2}(x)$）場合、それらは1次独立であるという。一方で、もし、$u_{1}(x)=Cu_{2}(x)$が成り立つ場合は、$u_{1}(x)$と$u_{2}(x)$は1次従属であるという。

【球面調和関数$Y_{lm}(\theta,\phi)$の直交性】
\begin{equation}
\int^{2\pi}_{0}\int^{\pi}_{0}Y^{\ast}_{lm}(\theta,\phi)Y_{l^{\prime}m^{\prime}}(\theta,\phi)d\Omega=\delta_{ll^{\prime}}\delta_{mm^{\prime}}
\end{equation}
なお、ここでの微小立体角$d\Omega$は以下である。
\begin{equation}
d\Omega=d\hat{r}=\sin\theta d\theta d\phi
\end{equation}

【球面調和関数$Y_{lm}(\theta,\phi)$の空間反転】
球面調和関数$Y_{lm}(\theta,\phi)$は空間反転$\vec{r}\to-\vec{r}$（$\theta\to\pi-\theta, \phi\to\pi+\phi$）に関して以下の性質を持つ。
\begin{equation}
Y_{lm}(\theta,\phi)\to(-1)^{l}Y_{lm}(\theta,\phi)
\end{equation}

【球面調和関数$Y_{lm}(\theta,\phi)$】
球面調和関数$Y_{lm}(\theta,\phi)$は随伴Legendre多項式に比例する関数である。
\begin{equation}
Y_{lm}(\theta,\phi)\propto P_{lm}(\cos\theta)
\end{equation}
$Y_{lm}(\theta,\phi)$は$\vec{l}^{2}$および$l_{z}$の固有関数である。
\begin{equation}
\vec{l}^{2}Y_{lm}(\theta,\phi)=l(l+1)\hbar^{2}Y_{lm}(\theta,\phi)
\end{equation}
\begin{equation}
l_{z}Y_{lm}(\theta,\phi)=m\hbar Y_{lm}(\theta,\phi)
\end{equation}

【クラメールの公式（2×2）】
\begin{equation}
A\left(
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{cc}
a_{1} & b_{1}\\
a_{2} & b_{2}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{c}
c_{1}\\
c_{2}
\end{array}
\right)
\end{equation}
\begin{equation}
x=\frac{1}{|A|}\left|
\begin{array}{cc}
c_{1} & b_{1}\\
c_{2} & b_{2}
\end{array}
\right|,~y=\frac{1}{|A|}
\left|
\begin{array}{c}
a_{1} & c_{1}\\
a_{2} & c_{2}
\end{array}
\right|
\end{equation}

【ロンスキー行列式（ロンスキアン）】
$n$個の関数が
\begin{equation}
c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)+\cdots c_{n}f_{n}(x)=0
\end{equation}
上式において一次独立（$c_{1}=c_{2}=\cdots c_{n}=0$でしか上式が成り立たない）であるための必要十分条件は以下である。
\begin{equation}
\mathrm{det}\left( \frac{d^{j-1}f_{j}(x)}{dx^{j-1}} \right)=\left|
\begin{array}{cccc}
f_{1} & f_{2} & \cdots & f_{n}\\
f^{\prime}_{1} & f^{\prime}_{2} & \cdots & f^{\prime}_{n}\\
&& \ddots & \\
f^{(n-1)}_{1} & f^{(n-1)}_{2} & \cdots & f^{(n-1)}_{n}
\end{array}
\right|\neq0
\end{equation}

【核物質中の1核子の有効質量】
ポテンシャルを$k/k_{F}\ll 1$の条件の下で
\begin{equation}
U(k)\simeq U_{0}+U_{2}\left(\frac{k}{k_{F}}\right)^2
\end{equation}
と近似すると、1核子のエネルギー$\epsilon_{k}$を
\begin{equation}
\epsilon_{k}=\frac{\hbar^2}{2m}k^2+U\left( k \right)\simeq \frac{\hbar^2}{2}\left( \frac{1}{m}+\frac{2}{\hbar^2}\frac{U_2}{k^{2}_{F}}
\right)k^2+U_{0}
\end{equation}
と書くことができる。ここで、有効質量$m^\ast$を以下のように定義する。
\begin{equation}
\frac{1}{m^\ast}=\frac{1}{m}+\frac{2}{\hbar^2}\frac{U_2}{k^{2}_{F}}
\end{equation}

【核子の平均自乗半径】
\begin{equation}
\langle r^2\rangle=\int r^2\rho(r)dr^3\left/\int\rho(r)dr^3\right.
\end{equation}
原子核の密度分布が$[0, R]$で一定とすると
\begin{equation}
\langle r^2\rangle=\rho_{0}\int^{R} _{0}r^4dr\int d\Omega\left/\rho_{0}\int^{R}_{0} r^2dr\int d\Omega\right.=\frac{3}{5}R^2
\end{equation}
となる。ここで、$R=r_{0}A^{1/3}$を用いると、以下のように表すことができる。
\begin{equation}
\langle r^2\rangle=\frac{3}{5}R^2=\frac{3}{5}r^{2}_{0}A^{2/3}
\end{equation}