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【調和振動子と不確定性関係2/2】
位置と運動量の量子的なゆらぎは
\begin{equation}
\Delta\hat{x}=\sqrt{\langle\hat{x}^2\rangle-\langle\hat{x}\rangle^2},~\Delta\hat{x}=\sqrt{\langle\hat{p}^2\rangle-\langle\hat{p}\rangle^2}
\end{equation}
と書ける。$\langle n|\hat{x}|n\rangle=\langle n|\hat{p}|n\rangle=0$より
\begin{equation}
\left( \Delta x_{n} \right)^2\left( \Delta p_{n} \right)^2=\frac{\hbar^2}{4}(2n+1)
\end{equation}
となり、$n=0$のときに$\Delta x\Delta p$は$\hbar/2$のゆらぎを持つことが見積もれる。これは不確定性関係に対応する。

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