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【スピン軌道相互作用による1粒子軌道の分離1/2】
$\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}$を用いると、スピン軌道相互作用の演算子は
\begin{equation}
\vec{j}^{2}=(\vec{l}+\vec{s})^2=\vec{l}^{2}+\vec{s}^{2}+2\vec{l}\cdot\vec{s}\quad\leftrightarrow\quad \vec{l}\cdot\vec{s}=\frac{1}{2}\left( \vec{j}^2-\vec{l}^2-\vec{s}^2 \right)
\end{equation}
と計算できる。これを固有状態$|l,1/2,j,m\rangle$に作用させると
\begin{equation}
\vec{l}\cdot\vec{s}|l,1/2,j,m\rangle=\frac{1}{2}\left\{ j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4} \right\}|l,1/2,j,m\rangle
\end{equation}
となる。

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