Mathtodon#マスログ

証明を理解するのに随分と時間が掛かってしまったが, Hadamardの定理の証明を終えた. 整関数$f$の種数を$h$, 位数を$\lambda$とした際に
\begin{align}
h\le\lambda\le h+1
\end{align}
が成り立つというもの.
hackmd.io/s/ryhdfwLE-

アルティンのガロア理論よんでいたら、群の指標の双対性についてわかりやすくまとめてあって目からウロコだった。

$0\leq i \leq p^f - 1, \; \gcd(p, i)=1$ に対して $\xi_i = 0$ のとき,
$$ \sum_{j=0}^{p^{f-1} - 1} \xi_{pj} = \sum_{i=0}^{p^{f} - 1} \xi_{i} $$
が成り立つ。

が理解できなくて,半日ぐらい悩んでいました。図をいろいろ書いていたらやっとわかった。


この間$p$進微分方程式の話を聞いて、なんとなく感覚がつかめた、感じがしています。$D$-加群の積分の話が見えてきた、と思ってもう一度「代数解析概論」を読んでみているのだけど、まださっぱりだった。

今日は機械学習する
scileranを使い慣れることが目標.

今日はmathtodonで気になっていた
Sanovの定理の証明を負う.
確率,統計がすごくふわふわしてるので,地に足がついた感じを得たい.

MCMC.
次にMath-iineで話すつもりでやる.ただし,引っ越しも….


『多様体のトポロジー』流の局所座標系の入れ方だと、接ベクトル空間のイメージが掴みやすかった。
『多様体の基礎』だとどんな定義だったかな。

Fresnel積分の極限
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \cos(x^2)dx
&={\sqrt{\frac{\pi}{8}}} \\
\int_{0}^{\infty} \sin(x^2)dx
&={\sqrt{\frac{\pi}{8}}}
\end{align}
の計算をした.
hackmd.io/s/rybPjToeW

ここでは数学の話をしたいが,たまにプログラムの話もします.

長く書けるので.今日はpandasと戯れてnumpyで行列の積を求めてみる予定.
(その前に片付けるべき書類の山が‥)

今日は疲れ切ったので月曜にまとめて💪


何か間違ってたらきっと指摘がくるはず (?)


『多様体のトポロジー』
最初の方から.

この本だと多様体 $M \subset \mathbb{R}^N$ に対して局所座標系 $\varphi$ を
\begin{align}
\varphi: U \to V
\end{align}
$(U \subset \mathbb{R}^n: \text{open}, V \subset M: open)$ と他の本とは逆に入れてる.

$\varphi$ が同相になるとこまで $V$ を狭めて考えていいので, どっち向きでも本質的には変わらない (はず).
読み進めるときに注意しておく.

17-05-10 目標:「多様体 $M$ への Lie 群 $G$ の作用による商空間 $M/G$ には自然に多様体の構造が入り、商写像によって主 $G$ 束となる」
* 適切な難易度の文献を探すのに苦労した。
* 一般の位相空間と連続な群作用がある場合でいくつかの性質を確認。
* 明日は UTX の Lie Groups を読んでみる。


今読んでいるのは『多様体のトポロジー』(服部晶夫) iwanami.co.jp/book/b265439.htm
復刊ドットコムで復刊されていたので買っておいた1冊.

大学生のとき幾何が苦手というか全然分からず放置してたので, 今になって基礎からやり直しているとこ.

この本は, R^Nの部分集合である n 次元実多様体の場合に限定して話を進めるので, そこまで抽象的な方には寄せていないので, イメージしやすい.

17-05-09 Chern類の計算など
* $Fl(E) \rightarrow M$ が cohomology に誘導する写像が単射なので、一般の $E$ に対しても $c(E)$ を $H^*(Fl(E))$ における多項式の形で書くことが意味を持つ。
* wedge prod, sym prod, tensor prod, dual bundle の特性類の計算。多項式の表し方は $E$ によらない!
* $\mathbb{C}P^n$ の chern class の計算。 Hom bundle との同型を作る議論がまだ精密に分かってない。

ユークリッドの互除法の実装
RubyのIOクラスでread,writeともに5パターン程度例を作る.

17-05-08 Chern類の構成の復習、計算
* Bott-Tu 式構成の復習(cpx vec bdl の SES は split することを確認)
* $S(\mathbb{C})$ をかけて $U(1)$ で割る方法で $c_0 = 1$ となることが証明できない。bdl の作用による商を取る議論をちゃんと抑えたい。
* $E$ が line bdl の直和の場合、$c_i$ は line bdl たちの first Chern class の基本対称式になる。
* $E$ が一般の場合にも「形式的に $c(E)$ を多項式のように書ける」という議論を厳密に抑えたい。
* $Fl(E)$ と $G_n$ は両側の極限?ちゃんと理解したい。

清書を書いた.
Gaussの公式
\begin{align*}
{(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}}\Gamma(z)
=n^{z-1/2}\Gamma\pare{\frac{z}{n}}\Gamma\pare{\frac{z+1}{n}}\cdots\Gamma\pare{\frac{z+n-1}{n}}
\end{align*}
の証明です.
hackmd.io/s/BkAjB2K1-

この一般化が丁度演習問題にあった. $\mathop{\mathrm{Re}}(z)\to\infty$の挙動を考えてStirlingの公式を適用すれば証明できた. 清書は明日書く.