直交補空間 @_eq@mathtod.online
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$d$次元ベクトル空間$V$上の線形演算子の空間$L_V$は$d^2$個のエルミート演算子で張ることができる。
直交補空間
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フィボナッチ数列の漸化式、
$$a_1=1,a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$$はよく知られてるけど、
$$\displaystyle a_1=1,a_2=1,a_{n+2}=\frac{{a_{n+1}}^2+(-1)^{n-1}}{a_n}$$という表し方もあるのを最近知った
2021年4月15日が第一版の新しい本
瀬戸道生，伊吹竜也，畑中健志，機械学習のための関数解析入門 ヒルベルト空間とカーネル法，内田老鶴圃
読んでいます。
円分多項式は素数$p$に対して
\[
\Phi_p(x)=x^{p-1}+\cdots+x+1,
\]
となる。
$p$を素数とする。整数$n_1,\ldots,n_p$を$p$で割った余りが全て異なるとき
\[
f_p(t)=\sum_{k=1}^pt^{n_k},
\]
は円分多項式$\Phi_p(x)$を因数に持つ。
$n$乗すると初めて$1$になるような複素数を解に持つ多項式
\[
\Phi_n(x)=\prod_{1\le k\le n,\,\text{gcd}(k,n)=1}(x-e^{\frac{2\pi ik}{n}}).
\]
例えば$\Phi_3(x)=x^2+x+1.$
円分多項式を初めて知りました。
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BT
なんとなく円分多項式に一般化できそうな話
整数$x,y,z$を3で割った余りが全て異なるとき
\[
f(t)=t^x+t^y+t^z,
\]
は$t^2+t+1$を因数に持つ。
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\begin{align}
-\int_0^\infty dx\ln[1-e^{-x}]
=&
\frac{\pi^2}{6}\\
\int_0^\infty dx\frac{x}{e^x-1}
=&
\frac{\pi^2}{6}
\end{align}
$x\to+0$の振舞いは大違いなのに積分すると同じ値になる。上の場合は$\ln[1-x]~(|x|<1)$のTaylor展開を利用して、下の場合は分子分母に$e^{-x}$をかけてから等比級数の和の公式を逆に利用することでどちらもBasel問題に帰着する。
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$$\therefore \int_{0}^{\infty}\frac{x^n}{e^x+1}dx=(1-2^{-n})\Gamma(n+1)\zeta(n+1)$$
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メモ
\begin{align}
& \int_{0}^{\infty}\frac{x^n}{e^x-1}dx-\int_{0}^{\infty}\frac{x^n}{e^x+1}dx \\
= & \int_{0}^{\infty}\frac{2x^n}{e^{2x}-1}dx \\
= & 2\int_{0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}x^ne^{-2kx}dx \\
= & 2\sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}x^ne^{-2kx}dx \\
= & 2\sum_{k=1}^{\infty}\bigg[-\bigg(\frac{x^n}{2k}+\frac{nx^{n-1}}{2^2k^2}+\frac{n(n-1)x^{n-2}}{2^3k^3}+\cdots+\frac{n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1}{2^{n+1}k^{n+1}}\bigg)e^{-2kx}\bigg]_{0}^{\infty} \\
= & 2^{-n}\Gamma(n+1)\zeta(n+1)
\end{align}
直交補空間
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メモ
\begin{align}
& \int_{0}^{\infty}\frac{x^n}{e^x-1}dx \\
= & \int_{0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}x^ne^{-kx}dx \\
= & \sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}x^ne^{-kx}dx \\
= & \sum_{k=1}^{\infty}\bigg[-\bigg(\frac{x^n}{k}+\frac{nx^{n-1}}{k^2}+\frac{n(n-1)x^{n-2}}{k^3}+\cdots+\frac{n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1}{k^{n+1}}\bigg)e^{-kx}\bigg]_{0}^{\infty} \\
= & \sum_{k=1}^{\infty}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1}{k^{n+1}} \\
= & \Gamma(n+1)\zeta(n+1)
\end{align}
\begin{align}
-\int_0^\infty dx\ln[1-e^{-x}]
=&
\frac{\pi^2}{6}\\
\int_0^\infty dx\frac{x}{e^x-1}
=&
\frac{\pi^2}{6}
\end{align}
$x\to+0$の振舞いは大違いなのに積分すると同じ値になる。上の場合は$\ln[1-x]~(|x|<1)$のTaylor展開を利用して、下の場合は分子分母に$e^{-x}$をかけてから等比級数の和の公式を逆に利用することでどちらもBasel問題に帰着する。
さらに、$f(x,t)$が周期$T(x)$を持つとき、すなわち
\[
f(x,t+T(x))=f(x,t),
\]
となる場合
\begin{align}
&\lim_{t\to\infty}\int_0^\infty dx\,f(x,t)\\
=&
\lim_{T\to\infty}
\frac{1}{T}\int_0^Tdt\int_0^\infty dx\,f(x,t)\\
=&
\lim_{T\to\infty}
\int_0^\infty dx
\frac{1}{T}\int_0^Tdt\,f(x,t)\\
=&
\lim_{n\to\infty}
\int_0^\infty dx
\frac{1}{nT(x)+\delta}(n\int_0^{T(x)}dt\,f(x,t)
+
\int_0^\delta dt\,f(x,t))\\
=&
\int_0^\infty dx
\frac{1}{T(x)}\int_0^{T(x)}dt\,f(x,t),
\end{align}
となる。ただし、途中で$T=nT(x)+\delta$と置いた。また、広義積分と極限の順番を入替えた。
$f(x,t)$は次を満たす：
\[\lim_{t\to\infty}\int_0^\infty dx\,f(x,t)=F_0.
\]
$F(t):=\int_0^\infty dx\,f(x,t)$と定義すれば条件は、
\[
|F(t)-F_0|<\epsilon~~\text{s.t.}~~T_1< t,
\]
となるで、$ T_1 < T $として
\begin{align}
&|\frac{1}{T}\int_0^Tdt\,F(t)-F_0|\\
<& \frac{1}{T}|\int_0^{T_1}dt\,F(t)-T_1F_0|
+
\frac{1}{T}|\int_{T_1}^Tdt\,F(t)-(T-T_1)F_0|\\
\to&\epsilon,
\end{align}
となる。ただし最後に$T\to\infty$とした。よって、
\[
\lim_{t\to\infty}\int_0^\infty dx\,f(x,t)
=
\lim_{T\to\infty}
\frac{1}{T}\int_0^Tdt\int_0^\infty dx\,f(x,t).
\]
つまり、$f(x,y)=g(x-y)$のもとで
\[
\left.\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right|_{x=x_0}
=
-\frac{\partial f(x_0,y)}{\partial y},
\]
当たり前と言えば当たり前なことだけど
$f(x,y)=g(x-y)$のとき、これを$x$について偏微分した後で$x=x_0$を代入したものと、先に$x=x_0$を代入してから$y$について偏微分したものにマイナスを付けるのは同じこと。
よって、先程の関係式
\[
\hat A\hat B=\hat I,
\]
の両辺のエルミート共役を計算することで
\[
\hat A\hat B=\hat B\hat A=\hat I,
\]
を得る。つまり、
\[
\hat B^{-1}=\hat A.
\]
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