さらに, 上の完全系列の真ん中の副有限群$\pi_1^{et}(X,\bar{x})$は,
そうした位相幾何的由来の副有限群と数論的情報を持つ副有限群である絶対Galois群$G_K$との「混」基本群として現れています.
この副有限群$\pi_1^{et}(X,\bar{x})$を「数論的基本群」といいます.
$\pi_1^{et}$を単に$\pi_1$と改めて書くと, この一連のツイートの一番最初に述べた完全系列が得られたことになります.

人はこれを$X$に付随する「基本完全系列」と呼びます.

また, GrothendieckのRiemann存在定理より付随する複素解析空間を取るという共変関手により$\overline{X}$上の有限エタール被覆全体のなす圏と$\overline{X}^{an}$上の有限被覆全体のなす圏は圏同値であり, 更に, 被覆空間のGalois理論より$\overline{X}^{an}$上の有限被覆全体のなす圏は$\widehat{\pi_1^{top}(X^{an},\overline{x}^{an})}$の連続作用付き有限集合全体のなす圏と圏同値です.
(ただし, $\widehat{G}$は群$G$の副有限完備化. )
これらより, $\pi_1^{et}(\overline{X},\bar{x})\simeq \widehat{\pi_1^{top}(\overline{X}^{an},\overline{x}^{an})}$であることが従います.
つまり, 上の完全系列の左側の副有限群として位相幾何的由来の副有限群が現れており, それゆえ, $\pi_1^{et}(\overline{X},\bar{x})$は「幾何的基本群」と呼ばれます.

ここで, $\mbox{Spec}$をとるという反変関手によって, $\mbox{Spec}(K)$上の有限エタール被覆全体のなす圏と$K$上の有限エタール代数全体のなす圏は反変圏同値となることから, $\pi_1^{et}(\mbox{Spec}(K),\bar{x})\simeq \mbox{Gal}(\overline{K}/K)$であることが従います.
つまり, 上の完全系列の右側の副有限群$\pi_1^{et}(\mbox{Spec}(K),\bar{x})$として数論的な体$K$の絶対Galois群$G_K$が現れています.

さらに, $\overline{X}$の幾何学的点$\bar{x}$を固定し, これにより誘導される幾何学的点$\bar{x}$を$X$と$\mbox{Spec}(K)$にも定めています.
このとき, エタール基本群の関手性によって, 基点付きスキームの射の系列$(\overline{X},\bar{x}) \to (X,\bar{x}) \to (\mbox{Spec}(K),\bar{x})$
$\leftrightarrow$ ファイバー関手付きガロア圏の射の系列$(\mbox{FEt}_{\mbox{Spec}(K)},F_\bar{x}) \to (\mbox{FEt}_{X},F_\bar{x}) \to (\mbox{FEt}_{\overline{X}},F_\bar{x})$
は副有限群の完全系列
$1 \to \pi_1^{et}(\overline{X},\bar{x}) \to \pi_1^{et}(X,\bar{x}) \to \pi_1^{et}(\mbox{Spec}(K),\bar{x}) \to 1$
を誘導します.

ここで, $K$は数論的な体 (例えば数体など) であり, $X$を$K$上有限型で幾何学的連結なスキーム, また, $K$の分離閉包$K\hookrightarrow \overline{K}$を一つ固定し, $X$の$\mbox{Spec}(\overline{K}) \to \mbox{Spec}(K)$による底変換を$\overline{X}:=X\otimes_K \overline{K}$としています.

${\rm pro-}l$ Johnson準同型 $\tau_m: \mbox{Gal}_k^{\rm Joh}(m) \to \mbox{Hom}_{Z_l}(H_{Z_l},\mbox{gr}^r_{m+1}(F_r^{{\rm pro-}l}))$

\[1 \longrightarrow {\mathop{\pi_1(\overline{X})}_{_{_{_{_{\textstyle 幾何的基本群}}}}}} \longrightarrow {\mathop{\pi_1(X)}_{_{_{_{_{\textstyle 数論的基本群}}}}}} \longrightarrow {\mathop{G_K}_{_{_{_{_{_{\textstyle {\rm 絶対Galois群}}}}}}}} \longrightarrow 1\]

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