well-definedという言葉は便利な反面曖昧性があるので,僕は「対応が写像であることを示す」や「写像としてwell-definedであることを示す」と書いています.

人生で初めて独立性証明をちゃんと読みました.まだgeneric拡大の気持ちやgeneric拡大がZFCのモデルになっていることの気持ちが分かっていないのでじっくりと取り組んでいきたいですね.

あけましておめでとうございます.今年もよろしくお願いします.

サクラ boosted

たとえば文字列のなすモノイドは可逆ではないが消約的、つまりvw=uwならv=uだしwv=wuならv=u。

サクラ boosted

キャンセルは消約性 (cancellativity) の印象があって逆元よりも弱い性質感。

自由モノイドが消約的なのは重要で,Mal'cevの反例の構成でも使われています.

軽く調べた限りだと$R{\mathrm{\mathchar`-Mod}}$が好さそうだが,Mathtodonでは出力できないのか?

左$R$-加群の圏$R$-Modを$\TeX$で格好良く入力する方法が分らない.$R-Mod$は当然ダメだけど,$R\mathrm{-Mod}$や$R\mathop{\mathrm{-Mod}}$もハイフンが長すぎる気がする.

サクラ boosted

面倒だけどはてなダイアリーから移行せねばならんのか。どこかの@niftyと違って、終了しても閲覧不能にならないのはいいけど
2019年春「はてなダイアリー」終了のお知らせと「はてなブログ」への移行のお願い - はてなダイアリー日記 d.hatena.ne.jp/hatenadiary/tou

LTLで特定の話題にあらゆる人が言及している様,好き

サクラ boosted

好意的に解釈すれば,$x^2+1$の根のどちらを$i$と思うかという話だと思った(共軛は区別が難しいので)

サクラ boosted

つまり,分離できない2点の近傍が中途半端に交わっている状況は存在しないということ.一様空間というのはある意味どの点の周りでも同じような「近さ」の構造を持ってような空間だから,このようなことが成り立つということかな?

サクラ boosted

逆向きの包含関係も同様にして示されるので,結局$\mathscr{V}_x = \mathscr{V}_y$がわかる。

サクラ boosted

【非ハウスドルフな一様空間について】
非ハウスドルフな一様空間において,開近傍で分離できない2点の近傍系は完全に一致する.

Xを非Hausdorffな一様空間とし,x,yを違いを開近傍で分離できない2点とする。それぞれの近傍系を$\mathscr{V}_x$と$\mathscr{V}_y$で表すことにする。このとき全ての開近傍$U \in \mathscr{V}_x$と任意の$V \in \mathscr{V}_y$について$U \cap V \neq \emptyset$となるから,全ての$U \in \mathscr{V}_x$に対して$Y \in \overline{U}$が成り立つ.これより$y$は$x$の近傍フィルター$\mathscr{V}_x$のcluster pointになっている.近傍フィルター$\mathscr{V}_x$はコーシーフィルターなのでcluster pointと極限点の概念が一致し,ゆえに$y$は近傍フィルター$\mathscr{V}_x$に収束する.したがって$\mathscr{V}_y \subset \mathscr{V}_x$が成り立つ.

連結成分という概念が日本語から想像される直観的な印象と一致している保証はどこにもないので,例えば数学書に「この連結成分が二つになることが分かる」などと書いてあってかつそれを示したことがなければちゃんと証明するようにしている.

$\mathbb{R}^2$から円をくりぬいた図形の連結成分が2つであることの証明はそこまで難しくなく,一般の閉曲線で示すのが難しいという話では.

一般にと但し書きをしたのは,先のtootにもある通り値域が有限集合の場合は不要だったり,或いは定義域に整列順序が入っている場合は(各元の逆像に対し最小限は一意に定まるので)不要だったりするからです.

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