お久しぶりです.簡単な一発ネタを書いたのでご笑覧ください.
https://mathlog.info/articles/120
面倒だけどはてなダイアリーから移行せねばならんのか。どこかの@niftyと違って、終了しても閲覧不能にならないのはいいけど
2019年春「はてなダイアリー」終了のお知らせと「はてなブログ」への移行のお願い - はてなダイアリー日記 http://d.hatena.ne.jp/hatenadiary/touch/20180830/blog_unify
つまり,分離できない2点の近傍が中途半端に交わっている状況は存在しないということ.一様空間というのはある意味どの点の周りでも同じような「近さ」の構造を持ってような空間だから,このようなことが成り立つということかな?
【非ハウスドルフな一様空間について】
非ハウスドルフな一様空間において,開近傍で分離できない2点の近傍系は完全に一致する.
Xを非Hausdorffな一様空間とし,x,yを違いを開近傍で分離できない2点とする。それぞれの近傍系を$\mathscr{V}_x$と$\mathscr{V}_y$で表すことにする。このとき全ての開近傍$U \in \mathscr{V}_x$と任意の$V \in \mathscr{V}_y$について$U \cap V \neq \emptyset$となるから,全ての$U \in \mathscr{V}_x$に対して$Y \in \overline{U}$が成り立つ.これより$y$は$x$の近傍フィルター$\mathscr{V}_x$のcluster pointになっている.近傍フィルター$\mathscr{V}_x$はコーシーフィルターなのでcluster pointと極限点の概念が一致し,ゆえに$y$は近傍フィルター$\mathscr{V}_x$に収束する.したがって$\mathscr{V}_y \subset \mathscr{V}_x$が成り立つ.
連結成分という概念が日本語から想像される直観的な印象と一致している保証はどこにもないので,例えば数学書に「この連結成分が二つになることが分かる」などと書いてあってかつそれを示したことがなければちゃんと証明するようにしている.
サクラは、一斉に咲いて、一斉に散るからこそ美しいのであります。