鼈甲 @tortoisebekkou@mathtod.online

殆どフォロイー/フォロワーいないけど、ローカルTLを見ている人には見えているらしいのでなんか書いていきます。パソコンぶっ壊れて3年間 $\LaTeX$ 触ってないからこれは嬉しい。マストドンの使い方あまりわかってない。

そうなんです！ そして定規とコンパスに加えて角の三等分器（またはそれと同等の作図能力をもつ手段）を使うときの、作図できる正多角形は1895年ないし1988年に決定されています。オイラーのファイで $\varphi(n)=2^{i}3^{j} ~(i, j \ge 0)$ と書けるような正 $n$ 角形が作図可能です。

特に素数なら $p=2^{i}3^{j}+1$ です。

実は7月にウィキペディアを編集（和訳の改善）したと言ったのはその周辺の話題でして、記事はこれです
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%A2%E3%83%9D%E3%83%B3%E3%83%88%E7%B4%A0%E6%95%B0

こっち見たほうが早いです
http://mathworld.wolfram.com/PierpontPrime.html

このワードゲームの今日のお題
必須: N / 自由: A I J M R U
固有名詞はルールで禁止されているとはいうもののラマヌジャン(Ramanujan)が作りたくて仕方ないわね

https://www.nytimes.com/puzzles/spelling-bee

$\tan \frac{\pi}{16}=0.1989123\dots$
平成の初日=1989年1月8日
惜しい!! 何かが!!

宇宙誕生から20秒以内に書かれた記事を発見

https://twitter.com/tortoisebekkou/status/1665162010546282497

『笑わない数学』の P vs NP 回で、NP の説明がおかしくて P と NP が disjoint だと誤読できるようになってたんだけど(画面端の注記を読めば誤読はおそらく防げる)、それはそうとあの番組は $\subset$ 記号自体を使わない方針なのかもしれないな

ニーヴンの定理(Niven's theorem):
$r, \cos {r\pi}$ が共に有理数であるならば $\cos {r\pi} \in \left\{ 0, \pm 1/2, \pm1 \right\}$.
日比孝之『多角形と多面体』にも証明あり。
ProofWikiによれば「ニーヴンより古いエルミートまで遡れるかもしれない」
系:
正多角形ですべての頂点が格子点上にあるものは、正方形のみである。

名称不明:
$r, \tan {r\pi}$ が共に有理数であるならば $\tan {r\pi} \in \left\{ 0, \pm1 \right\}$.
証明はガウス整数の素因数分解の一意性を使うものがある。加藤和也『数論への招待』など。

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14278530224
ChatGPTとかの使用者がでたらめを書き込みまくって知恵袋はもうボロボロ

妄想アカデミズム / 檜山ユキ https://seiga.nicovideo.jp/comic/60564 #ニコニコ漫画
最近のきらら漫画では超越数の話をしてもいいらしい（第6話）

数のフリーズ(frieze)の理論に稲妻(lightning bolt)というものがある。
https://m.youtube.com/watch?v=MJ1NAzpens4

「幅 $(n+1)$ の稲妻の、折れ線としての合同を同一視した形状の数」
もこれに等しい。
なお、稲妻をもたないフリーズが存在するので、この方法では全てのフリーズを数えられてはいない。

稲妻をもつ幅 $n$ のフリーズの数は
A5418(n-1): {1, 1, 2, 3, 6, 10, 20, ...}
幅 $n$ のフリーズの数は
A207(n+1): {1, 1, 3, 4, 12, 27, 82, ...}

OEIS A5418
Number of (n-1)-bead black-white reversible strings (以下略). \[
a_{n}=2^{n-2}+2^{\lfloor{(n-2)/2}\rfloor}
\] https://oeis.org/A005418

これ最初はオセロ石と誤読していた。
ここでの reversible は逆順を同一視するという意味であって、オセロ石の裏返しとは異なる。黒と白のビーズの色は互いに交換できない。だから碁石と訳すとよくて、
「$(n-1)$ 個の碁石の、逆順を同一視した列の数」
となる。

ところが Russell のコメントと例にあるように
「$n$ 個のオセロ石の、逆順と裏返しを同一視した列の数」
はこれに等しい！
(∵ オセロ石の列の隣接する2個に対し、向きが同じなら白い碁石を、異なるなら黒い碁石を対応させる)

最近の知恵袋には文章生成AIの出力をコピペして回答する人がいると聞いていたけど、数学カテゴリにも湧いてきたみたいだ。

「A_4 のシロー p 部分群は？」 に「A_4 の元は24個で、最大の3冪は9で……」と答えるようではいけないよ。“““上”””で待ってるで。

しまった、終域は整数とは限らず実数だから全ての“ $\ge1$ ”を“ $>0$ ”に訂正する

全ての奇素数からなる増加列 $\{a_1=3, a_2=5, \dots \}$ は $a_n < a_{n+1} < 2a_n$ を満たす(ベルトラン・チェビシェフの定理の一部)。
$f(2) \ge f(3) \ge1 $ を仮定すると
\[f(a_k) \ge 1 \Rightarrow f(2a_k) \ge 1 \Rightarrow f(a_{k+1}) \ge 1
\]と数学的帰納法により、いつまでたっても $f(n)=0$ にならないことがいえる。矛盾。

符号ミスった、(z-1) 倍じゃなくて (1-z) 倍じゃん \[
(1-z)\sum_{n\ge 0}{a_nz^n} = a_0 + \sum_{n\ge 1}{(a_n-a_{n-1})z^n}
\]

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12274308087

母関数について得るものがあった

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13273513553

平行記号 // と等号 = の合字!?

しかし\[
\begin{eqnarray*}
&& \left[ u \sqrt{u^2+1} \right]_{u=a}^{b} \\
&=& \left[ \frac{t}{k} \sqrt{\frac{t^2+k^2}{k^2}} \right]_{t=ka}^{kb} \\
&=& \frac{1}{k^2} \left[ t \sqrt{t^2+k^2} \right]_{t=ka}^{kb} \\
\end{eqnarray*}
\]みたいに係数がつくものと混同するから覚えておけない

有名な手らしいけど普通に鮮やかだなあ
$t=ku$ の関係にあるとき\[
\require{cancel}
\begin{eqnarray*}
&& \left[ \log \left( u + \sqrt{u^2+1} \right) \right]_{u=a}^{b} \\
&=& \left[ \log \left( \frac{t}{k} + \sqrt{\frac{t^2+k^2}{k^2}} \right) \right]_{t=ka}^{kb} \\
&=& \left[ \cancel{\log \frac{1}{k}} + \log \left( t + \sqrt{t^2+k^2} \right) \right]_{t=ka}^{kb} \\
&=& \left[ \log \left( t + \sqrt{t^2+k^2} \right) \right]_{t=ka}^{kb}. \\
\end{eqnarray*}
\]

#証明追ったことない定理激白
代数閉包の存在（任意の体は代数閉包をもつ）