Pinned toot

殆どフォロイー/フォロワーいないけど、ローカルTLを見ている人には見えているらしいのでなんか書いていきます。パソコンぶっ壊れて3年間 $\LaTeX$ 触ってないからこれは嬉しい。マストドンの使い方あまりわかってない。

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そうなんです! そして定規とコンパスに加えて角の三等分器(またはそれと同等の作図能力をもつ手段)を使うときの、作図できる正多角形は1895年ないし1988年に決定されています。オイラーのファイで $\varphi(n)=2^{i}3^{j} ~(i, j \ge 0)$ と書けるような正 $n$ 角形が作図可能です。

特に素数なら $p=2^{i}3^{j}+1$ です。

実は7月にウィキペディアを編集(和訳の改善)したと言ったのはその周辺の話題でして、記事はこれです
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9

こっち見たほうが早いです
mathworld.wolfram.com/Pierpont

直交座標軸があるユークリッド空間なら、
余弦定理 \[
\|a\| \|b\| \cos \theta = \frac{1}{2}(\|a\|^2 + \|b\|^2 - \|b-a\|^2)
\]を認めると
・ベクトルの長さ(線分の長さ)が定義されているもとでの、長さと角度による内積の定義
・ベクトルの各成分ごとの積の総和による内積の定義
のどちらをもとにしても他方を導出することができるような気がします。右辺を計算するだけ?

また、鏡映を許す正 $n$ 面体群を $MP_n$, 鏡映を許さない正 $n$ 面体群を $P_n$ とすると
$-I$ が全ての行列と可換であることが効いて
$n = 6, 8, 12, 20$ について群の直積として \[MP_n = P_n \times \{\pm I\}\] がいえる。
$n = 4$ について $-I$ は正4面体をもとの位置に移さないので使えず、面に番号を振ることで \[MP_4 \simeq S_4, P_4 \simeq A_4 \] ですね。

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3次行列 $-I$ は原点対称移動なんですが、
「z軸に関する180度回転」と「z軸に直交する平面に関する鏡映」の合成 \[-I =
\begin{pmatrix} -1 & 0 & \\ 0 & -1 & \\ & & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & -1 \end{pmatrix}
\] だから回転鏡映だっていうのはなかなかよかった。

一般に3次元の合同変換は螺旋移動、回転鏡映、すべり鏡映のどれかになるはずなので……。

マンデルブロー集合の着色ルールを調べたところ、たいていがマンデルブロー集合自体は黒く塗りつぶし、補集合に色を塗っているよことがわかり萎えた

一般の体、 $ab=c$ のときに $\sqrt{a}\sqrt{b}$ が $\sqrt{c},-\sqrt{c}$ のどっちなのか決めようがなくてしょっぱい。そもそも $a$ に対する $\sqrt{a}$ もどっち選べばええねん。

そのような体としては $\mathbb{C}$ が典型的ですが最近は $\mathbb{F}_3(t)$ の代数閉包でこの現象に翻弄されています。

\[
\log 1+ \log 2 + \cdots + \log n = \log n!
\]が簡単に示せることに気付かなかったし、\[
\log 1+ \log 2 + \cdots + \log n = \log \Gamma(x+1)
\]って書かれたら途端に特殊関数が必要なのかと幻惑されたぜ

実数 $\mathbb{R}$ の部分集合 $A$ (高校で出てくるのはたいてい区間か区間の合併)について、数学用語としての $A$ の最大値や最小値は $A$ の要素でなければならない。

最小の正の実数が存在しないことなんかはすんなり理解されるのです。最大値は 0.999...=1 問題が併発してどうしても話が長くなってしまうのでした。

そうなんですよね。
$(x, y)$ に代えて $(\xi, \eta)$ を用いる文脈があるから(関数解析学の講義で見た)、まさか文字の起源として対応していないとは思わなかった。
$\xi \rightarrow x$ は発音の転写としては正しいらしいけど。

$\zeta$ はcs, $\xi$ はccsと縦に書く気分でやってる

鼈甲 boosted
鼈甲 boosted

下手くそに書いた $\zeta$ は $\}$ と見分けがつかない
―― アーサー・C・クラアクヒツ

$p \ge 5$ のとき \[
10+2b=(8 \text{ or } 12) =2^2\cdot(2 \text{ or } 3)
\] の少なくとも一方が平方剰余ならば解あり。

Case 2. そうでなければ $p \ge 5$ でかつ 6 が平方剰余である。
$f(x)=(x^2+b)(x^2+d)$ と表せることを示す。
展開して \[
\left\{ \begin{array}{l}
b+d=-10 \\ bd=1
\end{array} \right.
\] これをみたすには $b, d = -5 \pm 2 \sqrt 6 \in \mathbb{F}_p$ ととればよい。

補足: 整数係数のときは $f(\pm 1)=-8\ne 0$ より1次因子もない。■

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やり直し

$f(x)=x^4-10x^2+1$ は整数係数・有理数係数では既約だが、任意の素数 $p$ に対する $\mathbb{F}_p$ 係数では2次式の積に表せる(1次式に分かれることもある)ので可約。

これの証明は $p \ge 5$ のとき 2, 3, 6 の少なくとも一つが平方剰余であることに帰着できるんですね。

導出:
Case 1.
$f(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ を展開して \[
\left\{ \begin{array}{l}
a+c=0 \\ ac+b+d=-10 \\ ad+bc=0 \\ bd=1
\end{array} \right.
\] これにさらに $b,d \in \{ \pm 1 \}$ を課したものが解ければ十分。
整理して \[
\left\{ \begin{array}{l}
a+c=0 \\ b=d \in \{ \pm 1 \} \\ 10+2b=a^2
\end{array} \right.
\] これは整数解なし、$p=2, 3$ で解あり。(つづく)

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誤った証明っぽいので一旦消しました
法 $p \in 24 \mathbb{Z} \pm 5$ において 2, 3 はどちらも平方非剰余
($p \ge 5$ と言っておいて最小反例が $p = 5$ という間抜け)

有限体では $bd=1$ から $b=d \in \{ \pm 1 \}$ は導かれないのでそっちからリカバリーできそう

あっ今日のサイエンスZEROが数学だ

気合いと言いましたが

$(x,y,z)=(r\cos t, r\sin t, z)$ を$(r,t;z)$ と書く円柱座標によって \[ \begin{eqnarray*}
&& D = (0,\cdot;1), \\
&& A = (\frac{2\sqrt2}3, \pi; \frac13),
C = (\frac{2\sqrt2}3, \frac{5\pi}3; \frac13), B^*,\\
&& B = (\frac{2\sqrt2}3, \frac{4\pi}3; -\frac13), A^*, C^*, \\
&& D^*
\end{eqnarray*}\] (*は対蹠点)と表される位置に球面的立方体の頂点をとるとよいです。

大円 $PQ$ はちょうど赤道であり、平面 $OPQ$ は $z=0$ です。
大円 $BC$ を含む平面 $OBC$ は $z=\frac1{\sqrt2}x$ です(直交座標で計算した方がよい)。
$\angle BQP=\arctan \frac1{\sqrt2}$ がわかります。
(終了)

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単位球だとすると
球面三角形 $\triangle P_1P_2P_3$ の面積は $\angle P_1 + \angle P_2 + \angle P_3 - \pi.$ (ジラールの公式)
球面多角形 $P_1\cdots P_n$ の面積は $\angle P_1 + \cdots + \angle P_n - (n-2)\pi.$ (上からの帰結)

気合いを入れて計算すると \[ \begin{eqnarray}
\angle QPB = \angle BQP &=& \arctan \frac{1}{\sqrt{2}} \\
&=& 35.264{}^\circ \\
&=& \frac{35.264\pi}{180}
\end{eqnarray} \] がわかります。平面のときの45度より小さいんですよね。
よって \[
\triangle PBQ = \frac{10.528\pi}{180},\\
\square ABCD = \frac{120\pi}{180}. \]

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正解はおよそ 1:12 でした。

そもそも、この内角が120度の球面正方形とは、球に内接する立方体を球の中心から球面へと投影して得られる球面的立方体の一面です。
ここで、正方形の中ほどは、球の中心に近いので、投影する際に大きく膨張します。
1:6 は答えにならないことがわかります。

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【球面幾何】
球面正方形 $\square ABCD$ が \[AB=BC= CD=DA,\\ \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=\underline{120{}^\circ} \] であるとする。
$AB$ の中点 $P$, $BC$ の中点 $Q$ を通る線分 $PQ$ で正方形を切る。
選択肢のうち、面積比 \[\triangle PBQ : \square ABCD \] はどれ?

ちなみに平面正方形ではちょうど 1:8 です

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