Pinned toot

殆どフォロイー/フォロワーいないけど、ローカルTLを見ている人には見えているらしいのでなんか書いていきます。パソコンぶっ壊れて3年間 $\LaTeX$ 触ってないからこれは嬉しい。マストドンの使い方あまりわかってない。

Pinned toot

そうなんです! そして定規とコンパスに加えて角の三等分器(またはそれと同等の作図能力をもつ手段)を使うときの、作図できる正多角形は1895年ないし1988年に決定されています。オイラーのファイで $\varphi(n)=2^{i}3^{j} ~(i, j \ge 0)$ と書けるような正 $n$ 角形が作図可能です。

特に素数なら $p=2^{i}3^{j}+1$ です。

実は7月にウィキペディアを編集(和訳の改善)したと言ったのはその周辺の話題でして、記事はこれです
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9

こっち見たほうが早いです
mathworld.wolfram.com/Pierpont

鼈甲 boosted

べつに歴史的仮名遣ひこそ正統!とは思っていないけれども,現代仮名遣いだと微妙に合理的じゃなすぎる……みたいなとこがあって厳しい気持ちにもなる

$\sqrt{1/a} = 1/\sqrt{a}$ の値が(小数表示などの形で)分かっている状態から $\sqrt{a}$ の値を得たいとき、逆数をとるのではなく $a$ 倍するのが計算が楽らしい。天才か?

さすがに状況が限られすぎているが。
有限体とか mod $p^n$ の世界で逆数を計算したくないときとか、$ \sqrt{1+x} $ の級数展開の係数が $ 1/\sqrt{1+x} $ のそれよりわずかに汚いことから後者を使ったときがそうであり、自分は何度か逆数をとっていたのでした。

直近の情報源はこれ。一行だけ触れられています。
qiita.com/qnighy/items/ba7e6cb

あとね、変数 x, y, δ, ε の順番と ∀, ∃ だけからわかる強弱関係というのがあるので図にしたものです。
(8)と(5)の間の命題とか数個考えられる。

Show thread

実関数 f:ℝ→ℝ で
∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, ∃ε>0, ∀δ>0; |f(x)-f(y)|<δ⇒|x-y|<ε
を満たす関数と満たさない関数を挙げよ.

shindanmaker.com/778143

任意の関数が満たす。おなじみ x に応じて y=x ととればよい。

昨日の分。10日目。
これは初日(通常版)にやった
∀x∈ℝ, ∃ε>0, ∀δ>0, ∃y∈ℝ; |f(x)-f(y)|<δ⇒|x-y|<ε
より強い条件になっています。(∀δ ∃y より ∃y ∀δ のほうが強い)
しかし、どちらも任意の関数が満たすので真に強くはなっていません。

Show thread

実関数 f:ℝ→ℝ で
∃ε>0, ∃δ>0, ∀x∈ℝ, ∀y∈ℝ; |f(x)-f(y)|<δ⇒|x-y|<ε
を満たす関数と満たさない関数を挙げよ.

shindanmaker.com/778143

f(x)=x は満たす。δ=ε=1 ととればよい。
f(x)=0 は満たさない。ε 以上離れた2数 x, y に対して成り立たない。

9日目。これは3日目にやった
∃y∈ℝ, ∃δ>0, ∃ε>0, ∀x∈ℝ; |f(x)-f(y)|<δ⇒|x-y|<ε
より真に強い条件です。(両者適宜並べかえると ∃y と ∀y だけの違い)
3日目の条件を満たすが今日の条件を満たさない関数には、例えば $f(x)=\arctan(x)$ や $f(x)=x^{1/3}$ や $f(x)=\lfloor x^{1/3} \rfloor$ があります。

Show thread

実関数 f:ℝ→ℝ で
∃y∈ℝ, ∀x∈ℝ, ∀δ>0, ∀ε>0; |f(x)-f(y)|<δ⇒|x-y|<ε
を満たす関数と満たさない関数を挙げよ.

shindanmaker.com/778143

満たす関数は存在しない。
問題文2行目の否定は
∀y∈ℝ, ∃x∈ℝ, ∃δ>0, ∃ε>0; (|f(x)-f(y)|<δ ∧ |x-y|>ε)
に同値。
y に応じて x≠y なる x をとれば、それに応じて十分大きな δ, 十分小さな ε がとれる。

8日目。

Show thread

実関数 f:ℝ→ℝ で
∀y∈ℝ, ∃δ>0, ∀x∈ℝ, ∃ε>0; |x-y|<δ⇒|f(x)-f(y)|<ε
を満たす関数と満たさない関数を挙げよ.

shindanmaker.com/778143

任意の関数が満たす。
y, x に応じて |f(x)-f(y)| より十分大きな ε をとればよいだけだから。δ にはよらない。

7日目。「どれも満たす」「どれも満たさない」が多くて、実りある(?)条件が珍しいことが感じられてきます。最も内側が∃だと満たしやすい? 1/2 以上でヌルゲーになってしまう……。
10日目までは続けます。

Show thread

実関数 f:ℝ→ℝ で
∀δ>0, ∀y∈ℝ, ∃x∈ℝ, ∃ε>0; |x-y|<δ⇒|f(x)-f(y)|<ε
を満たす関数と満たさない関数を挙げよ.

shindanmaker.com/778143

任意の関数が満たす。
δ がなんであっても、y に応じて x=y ととれば |f(x)-f(y)|=0 となる。ε=1 ととればよい。

6日目。昨日とほぼ同じ。飽きそう()

Show thread

実関数 f:ℝ→ℝ で
∀δ>0, ∀y∈ℝ, ∀ε>0, ∃x∈ℝ; |f(x)-f(y)|<δ⇒|x-y|<ε
を満たす関数と満たさない関数を挙げよ.

shindanmaker.com/778143

任意の関数が満たす。
δ, ε がなんであっても、y に応じて x=y ととれば |x-y|=0 となる。

これで5日目。x=y でいけると楽。

Show thread

実関数 f:ℝ→ℝ で
∃ε>0, ∀δ>0, ∀y∈ℝ, ∀x∈ℝ; |f(x)-f(y)|<δ⇒|x-y|<ε
を満たす関数と満たさない関数を挙げよ.

shindanmaker.com/778143

満たす関数は存在しない。
問題文2行目の否定は
∀ε>0, ∃δ>0, ∃y∈ℝ, ∃x∈ℝ; (|f(x)-f(y)|<δ ∧ |x-y|>ε)
に同値。∃の順番を入れ換えた
∀ε>0, ∃x∈ℝ, ∃y∈ℝ, ∃δ>0; (|f(x)-f(y)|<δ ∧ |x-y|>ε)
にも同値。
ε に応じて、|x-y|>ε なる x, y を勝手に1組とる。|f(x)-f(y)| より大きな δ は容易にとれる。

Show thread

実関数 f:ℝ→ℝ で
∃y∈ℝ, ∃δ>0, ∃ε>0, ∀x∈ℝ; |f(x)-f(y)|<δ⇒|x-y|<ε
を満たす関数と満たさない関数を挙げよ.

shindanmaker.com/778143

f(0)=0, f(a)=2 (a≠0) で定められる関数は満たす。
y=0, δ=1, ε=1 ととればよい。

f(x)=sin x は満たさない。
問題文2行目の否定は
∀y∈ℝ, ∀δ>0, ∀ε>0, ∃x∈ℝ; (|f(x)-f(y)|<δ ∧ |x-y|>ε)
である。
y, ε に応じて、ε<2nπ となるような整数 n をとり x=y+2nπ とすると |f(x)-f(y)|=0 ∧ |x-y|>ε となる。

昨日(土曜日)の分。時間ぶっちしたら完全分類が済んだ気がする。
ある f(x) のある開近傍の逆像が有界集合になるならば、満たす。
どの f(x) のどの開近傍の逆像も非有界集合になるならば、満たさない。
もっと簡単な例は、満たすものが f(x)=x, 満たさないものが f(x)=0 。

Show thread

実関数 f:ℝ→ℝ で
∀δ>0, ∀y∈ℝ, ∀x∈ℝ, ∀ε>0; |x-y|<δ⇒|f(x)-f(y)|<ε
を満たす関数と満たさない関数を挙げよ.

shindanmaker.com/778143

定数関数は満たす。常に |f(x)-f(y)|=0 となるから。

定数関数でなければ満たさない。
問題文2行目の否定は
∃δ>0, ∃y∈ℝ, ∃x∈ℝ, ∃ε>0; (|x-y|<δ ∧ |f(x)-f(y)|>ε)
である。
f(x)≠f(y) なる x, y をとり、それに対して十分大きな δ, 十分小さな ε をとればよい。

Show thread

実関数 f:ℝ→ℝ で
∃δ>0, ∀x∈ℝ, ∀y∈ℝ, ∀ε>0; |f(x)-f(y)|<δ⇒|x-y|<ε
を満たす関数と満たさない関数を挙げよ.

shindanmaker.com/778143
(上級編)

あっ鬼だ。
問題文2行目は
∃δ>0, ∀x∈ℝ, ∀y∈ℝ; ( |f(x)-f(y)|>δ ∨ x=y )
と同値。
f が満たす関数だと仮定する。
f は単射。像 Im(f)=f(ℝ)⊂ℝ は定義域 ℝ との間に全単射があるから不可算集合。
Im(f) の任意の異なる2元は δ よりも離れていることになる。
ここで整数 n について I_n=[nδ, (n+1)δ) とおく。
ℝ は可算個の I_n の非交和である。
Im(f) ∩ I_n の元は0個か1個だから Im(f) は高々可算になる。
矛盾。
よって満たす関数は存在しない。

Show thread

実関数 f:ℝ→ℝ で
∀x∈ℝ, ∃ε>0, ∀δ>0, ∃y∈ℝ; |f(x)-f(y)|<δ⇒|x-y|<ε
を満たす関数と満たさない関数を挙げよ.

shindanmaker.com/778138

任意の実関数はこれを満たす。
xの値がなんであっても ε=1 ととり、δの値がなんであっても y=x ととればよい。
|f(x)-f(y)|=0, x-y=0.

鼈甲 boosted

( @antimon2 )
1年経ったら読み方を忘れていたので自分用に整理。今導いた所もある。

正の整数の組 $(x,y,z)$ について(1)と(2)が同値。
(1) $x^{-1}+y^{-1}=z^{-1}$ が成り立つ。
(2) $\gcd(x_0, y_0)=1$ を満たすような正の整数 $g, x_0, y_0$ を用いて $\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
g(x_0+y_0)x_0 \\ g(x_0+y_0)y_0 \\ gx_0 y_0
\end{pmatrix}
$ と書ける。

また(2)の形に書いたとき
$\gcd(x, y)=g(x_0+y_0), \gcd(x, y, z)=g$ である。
$x+y$ の値を指定して解を求めるには $x+y=g\left(x_0+y_0\right)^2$ を使えばよい。
例えば $x+y=100$ のとき $(g, x_0+y_0)=(1,10),(4,5),(25,2)$。

鼈甲 boosted

\[
\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z^2}
\]をみたす自然数の組を決定する話を書きました。
corollary2525.hatenablog.com/e

「クオリア」をビジネス用語として使用する人間が存在するらしいが不気味だ、やらせであってくれ

ちなみに \[
\mathrm{069b5 948ab + c6317 38421= cccccccccc}
\] はミディの定理(Midy's theorem)に似ている。\[
-x = (-1-x)+1= ( \mathrm{\dot{c}} -x )+1, \\
\frac{1}{25} = \mathrm{\dot{c}631738421~ 069b5948a\dot{b}} +1.
\] ついでに \[
\sum_{k=0}^{\infty}{13^k (-2)^k}=\frac{1}{1-13\times(-2)}=\frac{1}{27}, \\
\frac{1}{27} = \mathrm{\dot{c}698253b\dot{0}} +1, \\
\frac{-1}{27} = \mathrm{\dot{0}634a791\dot{c}}.
\]

Show thread
Show more
Mathtodon

A Mastodon instance named Mathtodon, where you can post toots with beautiful mathematical formulae in TeX/LaTeX style.