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y. @waidotto@mathtod.online

MITの積分競技会(Integration Bee)、「こんなの面白いに決まってるじゃん……」という感じだし、何かの機会にこういうイベントをやってみたいという気持ちが強い

スマホ用のMastodonクライアントは(自作する気力がないので)だいぶ前に入れたPawooをそのまま使っている。

y. boosted
y. boosted

MITで積分計算のコンテスト的な奴があるの初めて知った..

こっち(Mathtodon)でも宣伝しておきます.今年(2018年)の初めから「決定不能問題ギャラリー」というページを始めました.
iso.2022.jp/math/undecidable-p
まだ記事が2つしかありませんが,毎月の1日に更新することを目標にちょっとずつ充実させていくつもりです.

mathtod.online/@sr_ambivalence

$q:=1-p$とおくと
\begin{align*}
p\sum_{n=0}^\infty nq^{n-1}&=p\sum_{n=0}^\infty \frac{d}{dq}q^n\\&=p\frac{d}{dq}\sum_{n=0}^\infty q^n\\&=p\frac{d}{dq}\frac1{1-q}\\&=\frac{p}{(1-q)^2}=\frac{p}{p^2}=\frac1{p}
\end{align*}
ですね.

定義されているとは限らないものを項(term)として書いてしまうという問題は0除算と似たようなものがありますね.
例えば「$x,y$を実数とするとき,\[1/x=y\]という命題の否定は何か?」というのは一見すると厳密な問題に見えるけれども,実際には$x$が$0$のときは数学的に意味をなしていない(「$1/0=y$」は真偽の定まる命題あるいは論理式ではない)ようなものですね.

まあ$[-\infty,\infty]:=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$に$[0,1]$と同相になるように適切に位相を入れれば$\lim_{n\to\infty}a_n=\pm\infty$も点列の収束として正当化できるのでそれほど的外れな書き方でもないと思います.

個人的には,計算可能性理論の記法を援用して,数列$(a_n)$が収束しないことを
\[\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)\uparrow\]
と書き,収束することを
\[\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)\downarrow\]
と書き,収束してかつその値が$a$であることを
\[\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)\mathclose{\downarrow}=a\]
と書きたい.が,他者に伝わらないのでよそでは使わない.

mathtod.online/@meizen_os/7896

有限非可換環は有限な環を成分にもつ行列全体のなす環(たとえば$\mathrm{M}(n,\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$)とかを考えれば無限に作れますね.

プロフィールを変更してみた.

mathtod.online/@mathmathniconi

クレイグのトリック(Craig's trick)と呼ばれているものですね.

mathtod.online/@mathmathniconi

回答にはなっていませんが,Gödelの定理の説明で私が好きなものはこれです:
mathtod.online/@waidotto/40748

mathtod.online/@aster/677683

世の中には半分配環(near-ring)というものがあるそうで,これは分配律が片側だけ成り立つようなものです.
簡単な例としては,多項式環$K[x]$に加法は通常の加法,乗法は合成$f(x)\circ g(x)=f(g(x))$としたものがあります.
この環では右分配律$(f+g)\circ h=f\circ h+g\circ h$は成り立ちますが,左分配律$f\circ(g+h)=f\circ g+f\circ h$は一般には成り立ちません.
たとえば定数項が0でない多項式$f(x)=x+1\in K[x]$について$f\circ 0=f(0)=1\neq 0$となります.

今日の第10回関西すうがく徒のつどい1日目の講演「決定不能問題の話」で使用したスライドを例によって iso.2022.jp/ にアップロードしました.
申し訳程度のtogetterまとめはこちら:
togetter.com/li/1151372

あら,可除群と書いたつもりが加除群になっていた.

任意の元の位数が有限な加除群といえば$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$というのもありますね.
($\{\,\exp(q\pi i)\mid q\in\mathbb{Q}\,\}$を$\log$で写した群ですが.)

mathtod.online/@genkuroki/5865

確かに,よく考えれば線形代数の基底の延長定理と同じことをやっているだけですね.
モデル理論を紹介するにあたり簡単な応用例を考えているのですが,難しいですね.(モデル理論的な別証明を与えている,と前向きに考えることはできますが.)

この定理ってどのくらい有名なんでしょうか.
「$(\alpha_i)_{i\in\mathbb{N}},(\beta_i)_{i\in\mathbb{N}}$を$\mathbb{Q}$上代数的独立な$\mathbb{C}$の元の列とする.このとき,ある体の自己同型$\sigma\in\operatorname{Aut}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})$が存在して全ての$i\in\mathbb{N}$について$\sigma(\alpha_i)=\beta_i$が成り立つ.特に,任意の超越数$\alpha,\beta\in\mathbb{C}$に対して,$\alpha$を$\beta$に写す体自己同型が存在する.」
また,この定理のモデル理論を使わない(簡単な)証明にはどのようなものがあるのでしょうか.

ここ数日は$\lvert\Sigma\rvert=2$なるアルファベット$\Sigma$を基底とする自由群の直積からの単射準同型$\operatorname{FG}(\Sigma)\times\operatorname{FG}(\Sigma)\hookrightarrow\operatorname{GL}(3,\mathbb{Q})$が存在するかどうかをずっと考えている.
いま読んでいる論文に$\operatorname{SL}(3,\mathbb{Z})$への単射が存在しないことの証明が書いてあるものの,一部$\operatorname{GL}(3,\mathbb{Q})$では通用しない議論があるので,そこをかいくぐって反例が作れないかを試みているが,なかなか難しい.